Exemple : calcul du produit scalaire en choisissant l'expression la plus adaptée

Exemple 

Dans chacun des cas ci-dessous, on cherche à calculer la valeur exacte du produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}\) en choisissant l'expression qui rend son calcul le plus simple possible.

• Dans la figure 1, les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont orthogonaux, leur produit scalaire est donc nul : \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=0}\).
• Dans la figure 2, on utilise l'expression du produit scalaire avec le cosinus.
  \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\Vert \overrightarrow{\text{AB}} \Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AC}} \Vert \times\cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)\)
  \(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=3 \times 2 \times \cos(45°)\)
  \(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=3 \times 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=3\sqrt{2}}\)
• Dans la figure 3, les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont colinéaires de sens contraire, donc :
  \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=-\Vert \overrightarrow{\text{AB}} \Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AC}} \Vert\)
  \(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=-2 \times 4\)
  \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=-8}\)
  
• Dans la figure 4, on est dans un repère orthonormé, on utilise l'expression analytique du produit scalaire : \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix}3\\ 5\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}} \begin{pmatrix}-1\\ 7\end{pmatrix}\).
  \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=x_{\overrightarrow{\text{AB}}} \times x_\overrightarrow{\text{AC}} + y_\overrightarrow{\text{AB}} \times  y_\overrightarrow{\text{AC}}\)
  \(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=3 \times (-1)+5 \times 7\)
  \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=32}\)
  
• Dans la figure 5, le point \(\text{B}\) est est le projeté orthogonal du point \(\text{C}\) sur la droite \((\text{AB})\), donc :
  \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{A}\color{blue}{\text{C}}}=\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{A}\color{blue}{\text{B}}}\)
  \(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=\Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert^2\)
  \(\hphantom{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}}=4^2\)
  \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=16}\)